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计算三重积分I=∫∫∫(x^2+y^2)DxDyDz,其中是Ω由曲面z...

解:∫∫∫z^2dxdydz=∫dθ∫rdr∫z^2dz (作柱面坐标变换) =2π∫(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr =(2π/3)[∫(2-r^2)^(3/2)rdr-∫r^4dr] =(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5] =4(√2-1)/15。

第四题你的写法是对的,答案应该不是16π/3 另外,你的做法并不是柱坐标系计算,而是极坐标计算,下面给出柱坐标系的计算,你会发现最终答案和你是一样的 第三题的列式是对的,具体计算没细看

半圆柱体也分上下部分的,这里假设是y≥0那部分了

逐层积分,没有技巧性可言

如果你问先二后一的话倒有些技巧,先一后二只是普通的算法而已

作球坐标变换:x=rsinucosv,y=rsinusinv,z=rcosu, 则dxdydz=r^2sinudrdudv,0

选用柱坐标系:0≤ θ≤ 2Pi ,0≤ r ≤ 2,r^2 /2 ≤ z ≤ 2 原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr = 2 Pi * (r^4 /2 - r^6/12) | r=2 = 16 Pi /3

这个题就是同济《高等数学》第十章第三节三重积分的例2, 书上就是用先计算一个二重积分再计算一个定积分的方法来做的, 如果是同济第5版,就在下册P101。

解:∫∫∫z^2dxdydz=∫dθ∫rdr∫z^2dz (作柱面坐标变换) =2π∫(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr =(2π/3)[∫(2-r^2)^(3/2)rdr-∫r^4dr] =(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5] =4(√2-1)/15。

将三重积分直角坐标形式化为柱坐标形式来计算. 变量之间转化为: x=rcosθ y=rsinθ z=z ,0≤r≤1,0≤θ≤2π,0≤z≤ 1?r2 面积微元dv=dxdydz=rdrdθdz, 故所求三重积分 = ∫ 2π 0 dθ ∫ 1 0 rdr ∫ 1?r2 0 zdz = π 4 .

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